2015年高考全國卷2理科數(shù)學試題及答案解析（word精校版）
注意事項：
1．本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必先將自己的姓名、準考證號碼填寫在答題卡上。
2．回答第I卷時，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。
3．回答第II卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
（1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,則A∩B=（ ）
（A）｛--1,0｝ （B）｛0,1｝（C）｛-1,0,1｝ （D）｛,0,，1，2｝
【答案】A
【解析】由已知得
，故，故選A（2）若a為實數(shù)且（2+ai）（a-2i）=-4i,則a=（ ）
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
【答案】B
（3）根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量（單位：萬噸）柱形圖。以下結論不正確的是( )
（A） 逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著
（B） 2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)
（C） 2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢
（D） 2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關
【答案】D
【解析】由柱形圖得，從2006年以來，我國二氧化硫排放量呈下降趨勢，故年排放量與年份負相關．
（4）等比數(shù)列｛an｝滿足a1=3，
=21，則 ( )（A）21 （B）42 （C）63 （D）84
【答案】B
（5）設函數(shù)
,( )（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
【答案】C
【解析】由已知得
，又，所以，故．（6）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為
（A）
（B） （C） （D）【答案】D
【解析】由三視圖得，在正方體
中，截去四面體，如圖所示，，設正方體棱長為，則，故剩余幾何體體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為．（7）過三點A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圓交于y軸于M、N兩點，則
=（A）2
（B）8 （C）4 （D）10【答案】C
（8）右邊程序抗土的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的“更相減損術”。執(zhí)行該程序框圖，若輸入a,b分別為14,18，則輸出的a=
A.0 B.2 C.4 D.14
【答案】B
【解析】程序在執(zhí)行過程中，
，的值依次為，；；；；；，此時程序結束，輸出的值為2，故選B．
（9）已知A,B是球O的球面上兩點，∠AOB=90,C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為
A．36π B.64π C.144π D.256π
【答案】C
【解析】如圖所示，當點C位于垂直于面
的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C．10.如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP=x．將動點P到A、B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則f（x）的圖像大致為
【答案】B
（11）已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為
（A）√5 （B）2 （C）√3 （D）√2
【答案】D
（12）設函數(shù)f’(x)是奇函數(shù)
的導函數(shù)，f（-1）=0，當時，，則使得成立的x的取值范圍是（A）
（C）
【答案】A
【解析】
記函數(shù)
，則，因為當時，，故當時，，所以在單調(diào)遞減；又因為函數(shù)是奇函數(shù)，故函數(shù)是偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，且．當時，，則；當時，，則，綜上所述，使得成立的的取值范圍是，故選A．
二、填空題
（13）設向量
，不平行，向量與平行，則實數(shù)_________．【答案】
【解析】因為向量
與平行，所以，則所以．（14）若x，y滿足約束條件
，則的最大值為____________．【答案】
（15）
的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則__________．【答案】
【解析】由已知得
，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項分別為，，，，，其系數(shù)之和為，解得．（16）設
是數(shù)列的前n項和，且，，則________．【答案】
【解析】由已知得
，兩邊同時除以，得，故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，所以．
三．解答題
（17）?ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，?ABD是?ADC面積的2倍。
(Ⅰ)求
;(Ⅱ) 若
=1，=求和的長.
(18)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：
A地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，得出結論即可）；
（Ⅱ）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個不等級：
滿意度評分 | 低于70分 | 70分到89分 | 不低于90分 |
滿意度等級 | 不滿意 | 滿意 | 非常滿意 |
記時間C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”。假設兩地區(qū)用戶的評價結果相互獨立。根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，求C的概率
如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形。
（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；
（2）求直線AF與平面α所成的角的正弦值。
20．（本小題滿分12分）
已知橢圓C：
，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M。（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；
（2）若l過點
，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由。
21．（本小題滿分12分）
設函數(shù)
。（1）證明：
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）若對于任意
，都有，求m的取值范圍。
22．（本小題滿分10分）
選修4 - 1：幾何證明選講
如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點，⊙O與ΔABC的底邊BC交于M，N兩點，與底邊上的高AD交于點G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點。
（1）證明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半徑，且
，求四邊形EBCF的面積。
23．（本小題滿分10分）
選修4 - 4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系xOy中，曲線C1：
（t為參數(shù)，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：，C3：。（1）求C2與C3交點的直角坐標；
（2）若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求
的最大值。
24．（本小題滿分10分）
選修4 - 5：不等式選講
設a，b，c，d均為正數(shù)，且a + b = c + d，證明：
（1）若ab > cd；則
；（2）
是的充要條件。
附：全部試題答案
